На эту статью можно ссылаться, ее адрес в интернете: www.biophys.ru/archive/congress2006/pro-p152.htm

Физические решатели на спиновых кластерах

В.Н. Трифанов, В.И. Тарханов, М.М. Нестеров

Институт проблем транспорта РАН, Россия, 199178, Санкт-Петербург, 12-я линия В.О., 13.

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, кафедра квантовой электроники, Россия, 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.

Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН, Россия, 199178, Санкт-Петербург, 14-я линия В.О., 39

nesterov@epr.pu.ru, tar@quel.hop.stu.neva.ru

Эта работа является альтернативной к экспериментальным исследованиям стабильности фазы Берри институтом Ланжевена (Гренобль, Франция) [1]. Де Чиара (G. De Chiara) и Пальма (G. Palma) [2] проанализировали влияние шума на геометрическую фазу частицы со спином ½, подверженную действию адиабатически меняющихся магнитных полей. При этом фаза состояния равна , где есть динамическая фаза Лармора, а - геометрическая фаза. Они показали, что колебания исчезают для больших времен воздействия шумового поля. Для доказательства этой идеи предлагается эксперимент на переохлажденных нейтронах в установке с кольцами Гельмгольца размером порядка метра.

Идея альтернативного подхода заключается в разделении этих двух фаз. Физический решатель строится только на динамической фазе Лармора.

В одном случае рассматриваются спиновые кластеры порядка 25 нанометров в транспаранте площадью 1 см² с одновременным воздействием двумя пучками модулированного когерентного света с двух противоположных направлений и формированием отклика в режиме светового эха обратной волны. Такую систему можно реализовать, например, на плоской ячейке с парами атомов цезия, подвергнутыми оптической накачке [3]. При этом в транспаранте возникают стоячие волны с пучностями в кластерах и узлами между ними. Благодаря модуляции, каждая пучность имеет свою интенсивность свечения. При таком подходе каждый кластер становится идеальным сумматором со своим значением ядра Грина. С помощью фазы Блоха и алгебры Колмогорова-Габора или полиномиальной алгебры можно строить функциональный суперкомпьютер.

Второй подход основан не на импульсном, а на постоянном поле ядра Грина для каждого кластера. В этом случае инвариантная статистика позволяет стратифицировать расщепление намагниченности каждого кластера по его статистическим резонансам и вероятностям их возбуждения. Связь между стратами устанавливается алгеброй Колмогорова-Габора.

Рассмотрим основные проблемы и новые возможности альтернативного подхода.

Прежде всего, необходимо сформировать кластерную среду на парах атомов цезия. Она формируется встречными пучками накачивающего резонансного света. Пары цезия обладают резонансными нелинейностями для резонансного инфракрасного излучения на длине волны 852 нм. Лазерный источник должен иметь узкую линию излучения и удерживаться в резонансе с острой линией поглощения. Цезиевый оптический коррелятор работает на непрерывном излучении с интенсивностями порядка 10^-3 Вт см² и обладает временем отклика 30 нс, которое ограничивается временем жизни оптически возбужденных уровней. Большая подвижность атомов ограничивает минимальный размер кластеров, различимых в парах цезия, величиной порядка 40 мкм. Меньшие размеры кластеров доступны в присутствии буферных газов, но обладают меньшей чувствительностью. Импульсный характер поведения кластеров обеспечивается динамическим характером транспарантов, осуществляющих пространственную модуляцию структуры световых пучков. Откачанная цезиевая ячейка содержит пары атомов цезия с плотностью 8×10¹¹ атомов/см³, что обеспечивает поглощение в центре линии порядка 70%. Область взаимодействия световых пучков имеет диаметр 3 мм и длину 1 мм, ограниченную толщиной плоской ячейки. В области взаимодействия находится порядка 6×10⁹ атомов цезия. Именно здесь образуется кластерная среда.

Кластерная среда формируется встречными потоками пространственно модулированного резонансного когерентного света, которые осуществляют оптическую накачку атомов цезия пропорционально результату пространственной конструктивной интерференции накачивающих световых пучков. Пространственная структура и степень ядерной намагничснности кластеров оценивается по рассеянию третьего считывающего когерентного резонансного светового пучка, который прикладывается под малым углом порядка 10 мрад к направлению распространения накачивающих пучков. Результат рассеяния после соответствующей обработки регистрируется фотодетектором.

Динамическая пространственная амплитудная модуляция световых пучков позволяет каждому кластеру получать свое значение ядерной намагниченности. Она измеряется по сигналу эха обратной волны и передается во внешний решатель.

Таким образом физическому решателю на спиновых кластерах необходим внешний решатель для установления функциональной связи между кластерами.

Модуляция световых фотонов может осуществляться состоянием исследуемой среды. Для этого необходим преобразователь состояния среды в амплитуду фотонов. Как видим, возникла потребность в наличии исследуемой среды и преобразователя между средой и спиновым решателем. Возможна другая альтернатива, когда в машинном моделировании преобразователь является интерфейсом между внешним решателем и спиновым решателем. Оба варианта необходимы в исследовании состояний природных и виртуальных сред.

Отметим еще один концептуальный момент. Дело в том, что намагниченность атомов в -проекции, ортогональной плоскости транспаранта, может быть независимой и когерентной в световой накачке. Таким образом в кластере возникают три уровня организации: атом, когерентная неделимая группа атомов м кластер как совокупность независимых когерентных групп. Условно эти группы можно обозначить так: атом, мезоатом, микроатом (кластер).

Рассмотрим технологию работы физического решателя в случае импульсных возбуждений кластеров. Она основана на формулах Блоха

(1)

где есть магнитный момент кластера, - величина индукции магнитного поля, - векторное произведение, - константа, - гиромагнитное отношение.

Если поле прикладывать импульсно

(2)

где - дельта-функция Дирака, то получаем

(3)

где - поворот угла прецессии, перпендикулярный плоскости , - амплитуда дельта-импульса.

Возбуждая кластерную среду разными импульсами внешнего магнитного поля вдоль оси , ортогональной плоскости транспаранта, и наблюдая повороты намагниченности в плоскости транспаранта, можно найти константу :

(4)

Она является константой спиновой кластерной среды и не зависит ни от намагниченности кластера ни от внешнего магнитного поля .

Принципиальной особенностью такого поведения является то, что кластер превращается в идеальный сумматор дельта-импульсов . В пределе при частых импульсах он превращается в идеальный линейный интегратор с ядром , .

Во втором случае, так же как и в первом, ось будем ориентировать ортогонально плоскости транспаранта. По этой оси направлено внешнее магнитное поле . Производная намагниченности находится в плоскости транспаранта.

При такой ориентации частота ларморовской прецессии будет равна

(5)

Напомним, что есть отношение механического момента количества движения к магнитному. Это гиромагнитное отношение является характеристикой спиновой среды.

Вновь, если есть дельта-импульс

(6)

то от каждого такого импульса наблюдается поворот магнитного момента в плоскости транспаранта

(7)

И в этой интерпретации получаем идеальный сумматор дельта-импульсов в плоскости транспаранта. В пределе, при частых повторениях дельта-импульсов получаем идеальный линейный интегратор с ядром , .

Рассмотрим ряд приложений такого интегратора к решению аналоговых задач. Отметим, что аналоговое подобие основано на изоморфизме интегро-дифференциальных и других функциональных уравнений, описывающих процессы в средах разной природы.

Без внешнего решателя при решении таких задач не обойтись, так как взаимосвязь между состояниями независимых кластеров транспаранта осуществляется внешним решателем в алгебре Колмогорова-Габора или в другой сепарабельной функциональной алгебре. При этом статистические резонансы состояния кластера определяются по ограниченному множеству состояний инвариантной статистики.

Напомним, что состояния реальных исследуемых сред отображаются в намагниченность кластеров с помощью преобразователя

(8)

Далее не будем указывать это преобразование в рассматриваемых задачах, а будем исследовать их в пространстве естественных состояний среды .

В общей теории систем динамическая система описывается уравнениями

(9)

где , есть состояние системы и его производная по времени, - управление, - результат ее функционирования, - матрицы взаимосвязи этих характеристик. - матрица обратной связи, - матрица входа, - матрица выхода, - матрица обхода.

Будем считать, что все переменные состояния, управления и входа стратифицированы. Каждая страта представляется своим статистическим резонансом. Такую возможность предоставляет инвариантная статистика, разработанная В.Н. Трифановым. Ее подробное изложение будет опубликовано отдельно. Отметим только, что она принципиально отличается от сеточных методов Самарского, так как учитывает асимметрию и неоднородность страт.

Такая стратификация позволяет представить задачу в конечномерной сепарабельной алгебре, представителем которой является алгебра Колмогорова-Габора. Переменная состояния в ней описывается выражением

(10)

где - индексы выделенных страт.

Проблема идентификации динамической системы сводится к следующему.

Структура и значение матриц неизвестна. Наблюдаются состояния , управления и результаты . По состояниям x определяются производные . Объединим векторы и матрицы в единую структуру

(11)

Тогда динамическая система будет описываться матричным равенством

(12)

Заметим, что

(13)

Этот интеграл берется физическим решателем спинового кластера по формулам Блоха.

В принятых обозначениях динамическая система выглядит в дифференциальной форме так

(14)

В интегральной форме имеем

(15)

Символически это можно записать так

(16)

При работе в тактовом режиме динамическая система представляется автоматной структурой Мура или Мила.

Автоматная структура Мура имеет вид

(17)

Здесь - текущий такт, - следующий такт. Это рекурсивная система. В блочном виде рекурсия выглядит так:

(18)

Приведем три формы представления динамической системы к унифицированному виду

(19)

Здесь - вход, - выход, - неопределенность функционирования. Речь идет о переопределенных системах.

Дифференциальная форма:

(20)

Интегральная форма при :

(21)

Автоматная форма:

(22)

Пусть есть множество входов, - множество выходов, - интервал наблюдения. Тогда в матричной записи имеем

(23)

В транспонированной форме получаем

(24)

Для полноопределенной системы

Для переопределенной системы

Для получения робастно устойчивых решений будем работать с переопределенными системами, для которых

(25)

Заметим, что в общем виде строки матриц , являются сепарабельными формами типа полиномов Колмогорова-Габора или других функциональных сепарабельных форм. Все интегралы и суммы по времени берутся по сумматорам Блоха на спиновом транспаранте физического решателя.

Зафиксируем некоторый столбец и введем обозначения

(26)

В таких обозначениях имеем

(27)

Здесь символ обозначает скалярное произведение по .

Рассмотрим квадратурный критерий

(28)

и найдем его максимум из условия

В результате получим

(29)

Но это условие определяется только для полноопределенных систем. Для переопределенных систем возникает неопределенность , поэтому для них получаем

(30)

Таким образом линейные (сепарабельные) формы (27) являются наилучшим приближением квадратичного критерия (28).

Предположим, что для некоторой совокупности столбцов матрицы

найдена обобщенная обратная матрица со свойствами:

(31)

Здесь есть единичная матрица размерности , есть проектор на пространство столбцов размерности

Проекторы обладают свойством идемпотентности:

(32)

При таких условиях получаем

(33)

С учетом этих результатов находим

(34)

Проектор идемпотентен

(35)

Он ортогонален проектору

(36)

Определим транспонированные векторы

(37)

Найдем квадраты и произведения векторов

(38)

Как видим, векторы и ортогональны. При таких условиях полный квадрат выхода будет равен

(39)

Получено, что полный квадрат выхода разлагается на две ортогональные части: структурно связанную и несвязную .

Максимум квадратичного критерия сводится к условию

(40)

Этот результат справедлив для любой выборки столбцов , в том числе для одного столбца получаем

(41)

Но для одного столбца обратная матрица находится из условия

(42)

В этом случае квадратичный критерий принимает вид

(43)

Условие максимума критерия принимает вид

(44)

Такая процедура продолжается рекурсивно до полного исчерпания входов в структурном описании выходов .

Далее рассуждения продолжим методом математической индукции.

Пусть на некотором этапе найдено наилучшее структурное описание :

+ (45)

Выберем наилучший столбец , не вошедший в структурное описание

Проведем согласование этого столбца со всеми столбцами, вошедшими в структурное описание

(46)

(47)

Такая процедура продолжается до полного насыщения выхода по входам .

Заметим, что в этой рекурсии соблюдаются три критерия самоорганизации структуры.

1) Критерий полноты:

(48)

2) Критерий эффективности:

(49)

3) Критерий устойчивости:

(50)

Предложенный подход удовлетворяет второй теореме Ляпунова для устойчивых систем. Действительно, имеем

(51)

Поэтому изложенная процедура потока связности динамической системы устойчива.

После транспонирования полученных результатов находим

(52)

Таким образом, задача поиска структурной связности динамической системы, как задача ее идентификации, решена.

Отметим, что все суммы по времени ведутся по каждому кластеру транспаранта спинового решателя. Все суммы по индексам ведутся на внешнем решателе.

Вторую проблему в данной работе только обозначим.

В постоянном магнитном поле кластера -проекция магнитного момента расщепляется на уровней. Но коль скоро в кластере много атомов, то и число таких уровней очень велико. При решении задач взаимодействия всех кластеров транспаранта по всем уровням возникает проблема «проклятия размерности», по образному выражению Белмана.

Здесь на помощь приходит инвариантная статистика. Она стратифицирует все уровни -проекции намагниченности по ограниченному числу статистических страт . Каждая страта имеет свой статистический резонанс, как ее представитель, и вероятность его возбуждения. Таким образом, стратифицированная система становится алгебраической в пространстве . Она позволяет описать статистические резонансы страт всех кластеров транспаранта . Вероятности возбуждения этого множества известны для .

Между элементами множества можно установить эволюционную взаимосвязь в виде марковского процесса

(53)

где есть последовательные моменты времени, - вероятности возбуждения резонансов с индексами , - неопределенность этой взаимосвязи. Коль скоро , то система переопределена. Для нее выполняется условие .

При решении задачи идентификации с целью определения матрицы взаимосвязи , исходное уравнение необходимо транспонировать

(54)

В таком виде задача решается так же, как и в первом случае, рассмотренном выше. При решении задачи все суммы по времени берутся по формулам Блоха на спиновом решателе, а все суммы по стратам выполняются на внешнем решателе.

Для преодоления «проклятия размерности» при большом множестве страт можно провести повторную стратификацию методами инвариантной статистики, объединяя микростраты множества в макростраты приемлемой размерности. После этого следует решать задачу идентификации с использованием марковских уравнений взаимосвязи (53) и (54).

Physical processors on spin klasters

V. N. Trifanov, V. I. Tarkhanov, M. M. Nesterov

In contrast to Berry’s phase stabilization for polarized ultra cold neutrons suggested in the Laue Langevin Institute we propose two alternative approaches. The first one is based on resonance light field wave structure with antinodes on basic klasters of about 25 nm in size. Klasters are formed by interference of two coherent light beams applied from the opposite directions. Sample response is a kind of a backward photon echo signal. Functional relations among klasters are described in terms of Kolmogorov-Gabor algebra. In the second approach the field is structured discontinuously. In this case Z projection splitting is stratified by an invariant statistics. Relations among klasters are described in terms of Kolmogorov-Gabor algebra.

Литература

1. Filipp S., Geltenbort P., Hasegawa Y., et al. Experimental Test of the Stability of Berry's Phase // Proposal 3-14-215.

2. De Chiara G., Palma G. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91, C. 090404.

3. Blagglo, J. P. Partenen, B. Al, R. J. Knize, R. W. Hellwarth. Optical image processing by an atomic vapour // Letters to Nature. 1994. V. 371, P. 318-320.